Category: кино

3

Делимость на 2 суммы двух чисел и делимости на 3 суммы трёх чисел

Главное, здесь не найти закономерность, а суметь её объяснить без сложных формул. Что такое чётность и нечётность, упомянуто здесь. Признак делимости на 3 описан здесь. Начнём с делимости на 2 суммы двух чисел.

Сумма двух чётных чисел всегда чётное число. В качестве иллюстрации можно привести пример с зелёными и красными яблоками. Если мы поделим поровну между двумя красные яблоки, и затем поделим поровну зелёные яблоки, то в итоге не останется ни лишнего яблока. Сумма чётного и нечётного числа и наоборот всегда нечётное число. Если при делении красных яблок лишнего не осталось, а от зелёные яблок осталось лишнее, то для яблок обоих цветов одно осталось лишнее. И наоборот, если при делении красных яблок осталось лишнее, а зелёные разошлись без излишков, то лишнее красное яблоко никуда не исчезло. Сумма двух нечётных чисел всегда чётное число. Мы поделили красные яблоки, одно осталось лишнее. Затем мы поделили зелёные яблоки, одно осталось лишним. Стало быть у нас осталось два яблока пусть и разного цвета, но их тоже можно поделить между двумя поровну.

Для суммы трёх чисел закономерность непростая. Аналогия с яблоками здесь проводится сложнее, потому что лишними могут оказаться как одно, так и два яблока. Можно утверждать точно, что сумма трёх троекратных чисел всегда троекратное число. Если два числа троекратные, а одно нет, значит сумма не будет делиться на 3. Есть ещё две не очевидные закономерности.

Во-первых, если разница между соседними двумя числами, при условии, что три числа расположены в порядке возрастания, будет одинакова, то сумма делится на 3. Это можно попробовать объяснить следующим образом. Если между соседними числами разность одинаковая, значит между крайними она в два раза больше. Значит, у нас есть три жёлтые, зелёные и красные яблоки, просто жёлтых больше чем зелёных, и красных настолько же больше чем жёлтых. Откинем лишние яблоки, у нас получится три равные доли. Что делать с лишними? У нас есть излишек желтых яблок и два таких же излишка красных яблок. Если говорить в общем о всех яблоках, то у нас три равных излишка яблок. Стало быть все яблоки могут быть поделены. Во-вторых, сумма трёх чисел делится на 3, если разница между любыми двумя делится на 3. К примеру 11, 14, 29 или 64, 64, 67. Объяснение получается даже проще, поэтому что на этот раз отброшенные лишние яблоки по условию делятся на 3.

Остальные закономерности для суммы трёх чисел мне неизвестны. Покамест разум наигрался.
3

Признаки делимости натуральных чисел. Делимость на 7

Данный признак излагается уже не в занимательном ключе, потому что он работает по общему правило, которое верно для признаков делимости на любое число.
Прежде всего нам потребуются остатки от деления на 7 "круглых" чисел, то есть чисел у которых в старшем разряде единица, а в остальных нули. К примеру, при делении 10 на 7 остаток равен трём, при делении 100 - двум, при делении 1000 - шести. Затем берём число, берём численное значение цифры из старшего разряда, умножаем его на соответствующий этому разряду остаток, вычисленный выше, затем ставим плюс и переходим к ближайшему младшему ненулевому разряду и так далее пока не доберёмся до крайнего младшего разряда. Так как при делении 1 на 7 в остатке гарантированно будет единица, то для крайнего младшего разряда можно не осуществлять перемножение на остаток.

Использую знак процента. В некоторых языках программирования он означает остаток от деления.
10%7=3; 100%7=2; 1000%7=6; 10000%7=4; 100000%7=5; 1000000%7=1. Дальше остаток будет тройка и всё повторится.

Число 14. 1*3+4=7. 7 делится на 7, значит и исходное число делится на 7.

Число 1428. 1*6+4*2+2*3+8=28. 2*3+6=14. Число 14, как мы выяснили выше делится на 7, значит и исходное число делится на 7.

Число 1111. 1*6+1*2+1*3+8=19. 1*3+9=12. 1*3+2=5. 5 меньше 7, следовательно исходное число на 7 не делится.

В следующий раз поиграюсь с парами чисел для определения делимости суммы на 2, и с тройками чисел для определения делимости суммы на 3. Покамест разум наигрался.
3

Признаки делимости натуральных чисел. Делимость на 4, на 8 и на 11

Делимость на 4 и на 8 - это скорее не признак, а свойство, потому что оно лишь упрощает определение, но не избавляет от деления. Число делится на 4 нацело, если делятся нацело число, состоящее из двух цифр исходного числа. Для деления на 8 аналогично, но рассматривается число, состоящее из трёх цифр исходного числа. Например, 1244 делится на 4, потому что 44 делится на 4. 1244 не делится на 8, потому что 244 не делится на 8. С делением на 4 есть ещё одна упрощающая хитрость. Если последняя цифра 2 или 6, то предпоследняя должна быть нечётной, если последняя цифра 0 или 4 или 8, то предпоследняя цифра должна быть чётной.

Делимость на 11 можно избавить от необходимости делить совсем. Согласно некоторым учебникам число делится на 11 без остатка, если разность суммы цифр, стоящих на чётных местах, и суммы цифр, стоящих на нечётных местах, делится на 11. Я думаю, что надо просто как и в случае деления на 3, продолжать находить эту разность, начиная с исходного числа, и для каждого промежуточного, пока в итоге не сойдёмся в 0. Если разностью будет любое число меньшее 11, то исходное число на 11 не делится. 1221 делится на 11, потому что (1+2)-(2+1)=0. 1089 делится на 11, потому что (1+8)-(0+9)=0. 12321 не делится на 11, потому что (1+3+1)-(2+2)=1.

Деление на семь я скорее всего изложу в строгом виде, простым способом его рассказать не получится. Покамест разум наигрался.
3

Признаки делимости натуральных чисел. Делимость на 3, на 6 и на 9

В данном случае для определения делимости необходимо складывать. В некоторых учебниках предлагается следующая формулировка. Число делится на три, если сумма цифр числа делится на три. Опять получается число делится, если другое число делится. Особенно интересно, что сумма цифр тоже может быть многозначным числом. Считаю, нужно подкорректировать. Мы знаем, что только три числа меньшие 10 делятся на три - это 3,6,9. Стало быть, чтобы определить делимость на три необходимо суммировать цифры и проверить результат. Если он будет больше десяти, то снова суммировать цифры уже полученного результата до тех пор, пока не получится 3, 6, 9. Только так мы сможем уйти от деления.

Ещё раз повторюсь. При делении мы выполняем как минимум две операции на каждый разряд: умножение и вычитание, не говоря о подборе. При использовании признака мы выполняем число сложений не больше чем двойное количество разрядов. То есть для определения делимости 3345 необходимо поступить так. 3+3+4+5=15. 1+5=6. Число суммирований меньше восьми, потому что после каждого суммирования количество цифр уменьшается. Еще пример. 4684568. 4+6+8+4+5+6+8=41. 4+1=5. Семь разрядов в исходном числе, число суммирований меньше 14.

Деление на 6 само по себе не использует особого правила. По крайней мере я такого не встречал. Просто определяем делимость на 2 и на 3. Эти признаки уже рассмотрены. Для определения делимости на 9 можно использовать признак делимости на 3 с одним упрощением. Суммируем разряды результатов пока не получится девять. Любое другое число меньше 10 говорит о том, что исходное число не делится на девять. Например, число 729. 7+2+9=18. 1+8=9. Или, к примеру, 59049. 5+9+4+9=27. 2+7=9.

Остались непростые признаки делимости на 4, на 8 и на 7. Они уже не позволяют избегать большого количества арифметических действий, скорее уменьшают их количество. Покамест разум наигрался.
3

Признаки делимости натуральных чисел. Делимость на 10, на 5 и на 2

Эти признаки работают только с последней цифрой числа (если говорить точнее, с крайним правым разрядом).

Признак делимости на 10 - это, пожалуй, самый простой признак из всех. Число делится на десять, если его последняя цифра - ноль. Необходимо помнить только про одну цифру. В случае делимости на 5 необходимо помнить уже про две цифры: 0 и 5, одна из которых должна быть последней обязательно.

По поводу делимости на 2 несколько сложнее. В некоторых учебниках я встречал такое утверждение "Число делится на два тогда и только тогда, если последняя цифра образует число, которое делится на два". То есть чтобы определить делимость на два, необходимо разделить на два. Некоторые признаки работают именно так, например, делимость на 4 и на 8. Но в случае делимости на 2, можно было бы сказать, что число делится на два, если его последняя цифра образует чётное число. Согласен, что здесь возникает некоторая сложность, потому что подобных чётных чисел аж пять - 0,2,4,6,8. Зато мы помним про них, что они делятся на два, и может лишний раз этого не проверять. Их называют чётные числа. У чётных и нечётных чисел есть свои интересные свойства, о которых будет рассказано после всех признаков делимости.

Стало быть, эти признаки делимости не требуют никаких вычислений, просто необходимо найти последнюю цифру числа. Дальше будут признаки, где потребуется складывать. Покамест разум наигрался.